CONTROL DEL PAR EN MOTORES DE CORRIENTE
DIRECTA POR CONTROL DE MODELO INTERNO
(IMC)
TORQUE CONTROL IN DIRECT CURRENT MOTORS
BY INTERNAL MODEL CONTROL (IMC)
Fernando Serrano
Universidad Tecnológica Centroamericana (UNITEC).
Tegucigalpa, Honduras.
E-Mail: serranofer@eclipso.eu ORCID: https://orcid.org/0000-0002-8800-7578
Benigno A. Rodríguez-Gómez
Departamento de Ingeniería Industrial.
Universidad de A Coruña.
A Coruña, España.
E-Mail: benigno.rodriguez@udc.es ORCID: https://orcid.org/0000-0002-0424-5764
Marco A. Flores Barahona
Instituto de Energía, Universidad Nacional Autónoma de Honduras, Honduras.
E-Mail: marco.ores@unah.edu.hn ORCID: https://orcid.org/0000-0003-0203-5592
Recepción: 23/02/2018. Aceptación: 02/10/2018. Publicación: 25/03/2019
Citación sugerida:
Serrano, F., Rodríguez Gómez, B. A. y Flores Barahona, M. A. (2019). Control del Par en Motores de Corriente
Directa por Control de Modelo Interno (IMC). 3C Tecnología. Glosas de innovación aplicadas a la pyme, 8(1), pp. 42-
63. doi: http://dx.doi.org/10.17993/3ctecno/2019.v8n1e29/42-63
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RESUMEN
El control del par para motores de corriente continua, motores de imán permanente y actuadores
lineales tiene aplicación en áreas como robótica, mecatrónica y otros mecanismos. Se muestra el
desarrollo teórico y simulación numérica de controladores de torque para estos motores por medio
de controladores de modelo interno. Se considera la saturación del motor, con esta restricción el
controlador propuesto toma en cuenta el efecto de "windup" que produce mal rendimiento o incluso
la inestabilidad del sistema en lazo cerrado.
ABSTRACT
The torque control of DC motors, permanent magnet motors and linear actuators has application in areas such as
robotics, mechatronics and other mechanisms. It shows the theoretical development and numerical simulation of torque
controllers for these motors by means of internal model controllers. The saturation of the motor is considered; with this
restriction the proposed controller considers the eect of "windup" that produces bad performance or even the instability
of the system in closed loop.
PALABRAS CLAVE
Control del par motor, Motor corriente continua, Control de modelo interno, Anti-windup.
KEYWORDS
Torque control, DC motor, Internal model control, Anti-windup.
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Ed. 29. Vol.8 Nº 1. Marzo-Junio 2019
DOI: http://dx.doi.org/10.17993/3ctecno/2019.v8n1e29/42-63
1. INTRODUCCIÓN
Actualmente se experimenta una gran demanda de actuadores, debido a los avances en los campos
de la robótica, la mecatrónica, los vehículos aéreos no tripulados, y otras áreas Nana, et al., (2017).
Cada actuador dependiendo de sus grados de libertad, necesita ser provisto de sus perles de torque,
esto conlleva la necesidad de implementar controladores para sistemas no lineales o complejos que
puedan funcionar en conjunción con otro controlador central. A pesar de que el control de motores
de corriente directa se ha estudiado desde hace décadas, existe actualmente una carencia de
alternativas para el control de par de los mismos, ya que, por lo general, las técnicas de control están
orientadas a motores de imán permanente o de inducción. Así en Matsuyama, et al., (2017), se utiliza
un método de compensación de error por medio de discretización para un motor de alta velocidad
implementando control de par directo. Tabbache, et al., (2017) implementan el control directo de
par de un motor de inducción para una aplicación en vehículos eléctricos. En Wada, et al., (2017) se
encuentra un caso interesante para el control de par de un motor de imán permanente, usando una
estrategia adecuada para las aplicaciones de los motores de imán permanente en robótica.
Los controladores PID han sido ampliamente utilizados en la industria desde hace décadas, y
mantienen su vigencia a pesar de su relativa simplicidad. Ejemplos de controladores PID para
estabilizar sistemas de una entrada y una salida, y de múltiples entradas y múltiples salidas en sus
versiones lineales y no lineales se encuentran en Belkadi, et al., (2017) donde se propone un controlador
robusto para un exoesqueleto. Li et al. (2017) desarrollan un método de diseño de controlador PID
de orden fraccionario para un regulador automático de voltaje mediante optimización por enjambre
de partículas. En Chu, et al., (2017) se propone un PID en modo deslizante basado en un estimador
neuronal para garantizar la estabilidad y robustez frente a la incertidumbre, en el giroscopio de
sistemas micro electromecánicos MEMS. Los controladores PID también han servido para estudiar
el problema de la sincronización exponencial de sistemas caóticos tal como se muestra en Zhang,
et al., (2017). En Lamba, et al., (2017) se muestra un controlador PID de orden fraccionario para
el control de potencia en un reactor presurizado de agua pesada proporcionando una adecuada
estrategia de control para resolver esta clase de problemas.
Aunque el control PID es una estrategia efectiva y vigente, en nuestro estudio nos centraremos en
evitar los efectos de la saturación para el control de par en motores de corriente continua por lo
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que se desarrollará una estrategia orientada al control “anti-windup” puesto que el efecto “windup”
produce un rendimiento pobre o incluso la inestabilidad del sistema. Con este n se han utilizado
en las últimas décadas, controladores basados en modelo interno debido a que proveen estabilidad y
rendimiento robusto. En esta línea se encuentran los trabajos de Barros and Barros (2017), y de Azar
and Serrano (2015) en los que se establecen varias estrategias basadas en modelo interno, logrando
soluciones satisfactorias. Particularmente en estos últimos autores proponen un controlador “anti-
windup” que considera las entradas saturadas tanto para el caso de sistemas de una entrada y una
salida como para sistemas de múltiples entradas y múltiples salidas. La relevancia de eliminar el
fenómeno de windup mediante un diseño adecuado del controlador es abordada en los trabajos de
Ahmed and Iqbal (2017) que diseñan un controlador anti-windup para un actuador con entradas
saturadas, obteniendo excelentes resultados en lo que se reere a rendimiento. Otros casos de
controladores “anti-windup” se implementan en aeronáutica como por ejemplo Ping, et al., (2017);
Zheng, et al., (2017); Liu, et al., (2017b) mientras que en el control de sistemas eléctricos y de
potencia se encuentran Oliveira, et al., (2017); Makrygiorgou and Alexandridis (2017). Más casos
relacionados al control “anti-windup” se pueden ver en Akram, et al. (2017); Liu, et al. (2017a);
Adegbege and Heath (2017); Singh, et al., (2017).
En este trabajo se propone un procedimiento de diseño del control de torque para motores de
corriente continua mediante un controlador de modelo interno IMC, tanto para el caso continuo
como para el discreto, en ambos casos se buscará un modelo de la saturación. El par del motor
es la salida de la función de transferencia del motor de corriente continua, y el IMC procurará el
seguimiento del perl del par deseado. Se diseñó un IMC discreto de par para su posible realización
sobre una plataforma hardware que funcione con un tiempo de muestreo grande. Este trabajo se
estructura como sigue: primero se explica la formulación del problema, luego se desarrolla el diseño
del IMC de par para tiempo continuo y para tiempo discreto; y por último se presentan las secciones
con la simulación numérica, el resultado experimental y sus respectivas conclusiones.
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2. FORMULACIÓN DEL PROBLEMA
El modelo matemático para un motor de corriente continua controlado por armadura, manteniendo
constante la corriente de campo, se compone de una parte eléctrica y otra mecánica que se enlazan
entre sí. La parte eléctrica supone un circuito de una única malla alimentado por una tensión v(t) en
el que se encuentran en serie una resistencia de armadura R
a
, una bobina de armadura L
a
, y en el
que se hace presente una fuerza contraelectromotriz e
a
(t), la malla es recorrida por una corriente i
a
(t)
de tal manera que su comportamiento se rige por la ecuación (1):
(1)
Bajo las condiciones expuestas, se genera un par T(t) proporcional a la corriente de armadura i
a
(t),
por lo que la ecuación anterior se puede rescribir como (2):
(2)
La parte mecánica del modelo supone que el par T(t) se emplea en vencer la inercia y la fricción de
los elementos en rotación, tal como indica la ecuación (3):
(3)
Siendo ω(t) la velocidad angular de rotación del motor, y B el coeciente de fricción viscosa. La
fuerza contraelectromotriz e
a
(t) es una tensión inducida proporcional al producto del ujo que es
constante por la velocidad angular ω(t). Lo que permite escribir (2) como (4):
(4)
Tomando transformadas de Laplace en las ecuaciones (3) y (4), sea despejando Ω(s)
en la transformada de (3), y sustituyendo su valor en la transformada de (4) llegamos a establecer
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una relación en el dominio de Laplace entre la tensión aplicada a la armadura del motor v(t) y el
par producido T(t), tal como aparece en la ecuación (5):
(5)
Que puede ser rescrita como la función de transferencia de la ecuación (6):
(6)
Generalmente la bobina de la armadura L
a
, presenta valores pequeños, y la expresión anterior
puede ser aproximada por otra que representa a un sistema de primer orden tal como recoge la
ecuación (6):
(7)
Por tanto, el par T(t) puede ser observado a través de la medida de la corriente de armadura i
a
(t), y
controlado mediante la tensión v(t) aplicada a la armadura.
3. CONTROL DE PAR POR MODELO INTERNO PARA EL MOTOR DE
CORRIENTE DIRECTA
En esta sección se desarrolla el proceso de diseño de los controladores de par IMC para motores de
corriente directa, tanto en tiempo continuo como en tiempo discreto. En este último caso se tendrá
en cuenta que el tiempo de muestreo es fundamental para que el controlador estabilice el sistema
en lazo cerrado, y que la implementación de este dispositivo tiene como restricción la velocidad del
hardware.
Se pretende que ambos controladores IMC tanto en tiempo continuo como discreto sigan perles
de par que pueden provenir de un control centralizado, tal sería el caso de un controlador en modo
deslizante, por ejemplo, que le provea el par de referencia para los motores de corriente directa que
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se empleen en la junta de un robot, ya sea del tipo serie o paralelo, o algún otro tipo de mecanismo
o vehículo no tripulado.
El control de modelo interno que se explica en esta sección consiste en establecer un controlador
robusto para obtener la estabilidad interna del sistema, ante la presencia de incertidumbres, como
la dinámica no modelada o las perturbaciones externas; y se garantiza el rendimiento del sistema
por medio de la minimización de un índice de rendimiento dado por la norma H2 o H1 tal como se
expone en Azar and Serrano (2015).
3.1 CONTROLADOR CONTINUO DE PAR DE MODELO INTERNO PARA
MOTORES DE CORRIENTE DIRECTA
Para el diseño del controlador de par de modelo interno se considera que tanto en el caso continuo
como en el discreto la estructura de control es la mostrada en la Figura 1, estando denidas las
funciones en el espacio s para el caso continuo, y en el espacio z para el caso discreto.
Figura 1. Diagrama de bloques del sistema de control.
Fuente: elaboración propia.
Siendo la función de transferencia del controlador, R es el compensador anti-windup y
es la función de transferencia entre el par T y la tensión de armadura V, que en el caso continuo
corresponde a la ecuación (6), y en el caso discreto sería la aproximación correspondiente en el
plano z. La referencia será el perl de par que deba seguir el motor de corriente directa.
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En el caso continuo la función de transferencias del compensador se corresponde con un ltro pasa
baja de primer orden tal como se expresa en la ecuación (8), donde los coecientes a
1
y a
0
se eligen
para situar el polo del ltro en un lugar conveniente del plano s:
(8)
En la Figura 2 se puede observar el diagrama de bloques que muestra la estructura para el diseño
del controlador de par de modelo interno, cuya explicación se encuentra con más detalle en Azar
and Serrano (2015).
Para obtener el controlador IMC se siguen los pasos indicados en Azar and Serrano (2015), que se
resumen a continuación:
Figura 2. Estructura de control por modelo interno.
Fuente: elaboración propia.
La función de transferencia de saturación tomará la forma dada en (9):
(9)
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Los elementos de esta función han de cumplir las relaciones indicadas en (10):
U = (
α
+
β
Δ
ϕ
)
!Δ
ϕ
! < 1
α
+
β
= 1
α
β
= a
(10)
Por su parte la función de transferencia del motor obtenida en (7) va a ser aproximada por el modelo
(11):
(11)
La función de transferencia G
p1
(s) que agrupa en serie al motor G
p
(s) y el modelo de saturación G
sat
(s)
se dividirá en dos partes:
Gp1(s)=p1m ·p1A (12)
Donde p1A contiene todos los ceros que tienen parte real positiva, con sus retardos, y p1m engloba
el resto de los polos y ceros de G
p1
(s) , tal como se expresa en (13):
(13)
Y el controlador de par de modelo interno vendrá dado por (14):
(14)
Siendo f un ltro de orden r con la forma de (15):
(15)
Sustituyendo en (14) las expresiones (13) y (15), e igualando a la función de transferencia del PID, se
determinan los valores para los parámetros de ganancia proporcional K
p
, tiempo integral t
i
, y tiempo
derivativo t
d
.
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3.2. CONTROLADOR DISCRETO DE PAR DE MODELO INTERNO PARA
MOTORES DE CORRIENTE DIRECTA
El diseño del IMC discreto de par para motores de corriente directa se aborda mediante un
procedimiento similar al caso continuo Azar and Serrano (2015). El diagrama de bloques de la
Figura 4 mantiene la misma estructura de la Figura 3, pero ahora representa al sistema en tiempo
discreto con saturación, donde la función de transferencia de la planta Gp(z) se corresponde con el
modelo discretizado del motor de corriente directa, G
c
(z) es el controlador y R(z) el compensador. La
Figura 4 se corresponde con el diagrama de bloques para el IMC de par para motores de corriente
directa en tiempo discreto.
Figura 3. Control de modelo Interno en Tiempo Discreto.
Fuente: elaboración propia.
Figura 4. Control de Modelo Interno en Tiempo Discreto para el IMC.
Fuente: elaboración propia.
Para el diseño del controlador de par de modelo interno en tiempo discreto a partir de la Figura 4
considere a Azar and Serrano (2015):
(16)
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donde:
(17)
ahora considere al controlador de modelo interno:
(18)
donde:
(19)
y el ltro f(z) está dado por:
(20)
Donde α es una constante que determina el polo del ltro. Mientras el ltro del compensador está
dado por:
(21)
Tomando en cuenta la siguiente función signo para la saturación:
(22)
Por lo que la saturación de z es:
(23)
por lo que:
(24)
Considerando el modelo de primer orden con retardo en el tiempo discreto:
(25)
Y que el controlador PID de modelo interno tiene la forma:
(26)
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Donde las ganancias y constantes de tiempo se encuentran con las siguientes formulas Azar and
Serrano (2015):
(27)
Donde m(1), m’(1) y m”(1) se muestran a continuación Azar and Serrano (2015):
(28)
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Siendo:
(30)
y N(z) está denida como Azar and Serrano (2015):
(29)
Con esta demostración teórica en la siguiente sección se corroborarán los resultados obtenidos por
medio de ejemplos numéricos y un montaje experimental.
4. SIMULACIÓN Y MONTAJE EXPERIMENTAL
Los resultados de la simulación numérica y el montaje experimental corroboran los resultados
teóricos obtenidos en este estudio. Los valores de los parámetros del motor se encuentran en la
Tabla 1.
Tabla 1. Valor de los parámetros del motor de corriente directa.
Parámetro Valor
7.7 Ohmios
0.000003 Henrios
0.000167 Kg.m
2
0.1 N.m.s
0.008 N.m/A
Fuente: elaboración propia.
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En la siguiente subsección se muestran los resultados de la simulación numérica y posteriormente
los resultados del montaje experimental, mientras los voltajes de saturación implementados en este
experimento son +24 v y -24 v.
4.1. SIMULACN NUMÉRICA: CASO CONTINUO Y DISCRETO
Para el experimento numérico tanto en el caso continuo como en el discreto se utilizaron perles de
par que tiene forma de onda cuadrada.
Figura 5. Par electromecánico del motor de corriente directa en tiempo continuo.
Fuente: elaboración propia.
Tal como se puede apreciar en la Figura 5 se puede notar que el controlador de par de modelo
interno para los dos casos conduce el par electromecánico generado por el motor hacia el par de
referencia con un pequeño sobre-impulso.
Figura 6. Error de torque del motor de corriente directa en tiempo continuo.
Fuente: elaboración propia.
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En la Figura 6 se muestra que la diferencia entre el perl de par de referencia y el par generado es
cero solo con un pequeño sobre-impulso en cada anco de salida. Mientras en la Tabla 2 se puede
ver el error integral cuadrado ISE para los casos continuo y discreto.
Tabla 2. Resultados del error integral cuadrado ISE.
ISE Valor
Caso contínuo 12.746
Caso Discreto 5.7698
Fuente: elaboración propia.
Los ISE cuales se calculan de la siguiente manera:
(31)
donde e(t) es el error entre la variable de referencia y la variable medida de la salida e(t)=Tref(t)−T(t).
Los resultados del ISE muestran que se obtiene un error bajo al aplicar un perl de par en forma de
onda cuadrada para el caso continuo y discreto.
4.2. MONTAJE EXPERIMENTAL
En la Figura 7 se puede ver el montaje experimental en el cual se utiliza una computadora personal
con procesador INTEL Pentium III usando sistema operativo Linux Lubuntu.